Question

f（x）＝1/2x^2+2ex，g（x）＝3e^2lnx+b.若这两个函数的图像有公共点，且在该点处的切线方程相同 . ①求实

一楼的你搞错了，第一个式子是ex而不是ax

Answer 1

已知定义在正实数集上的函数f(x)=1/2x^2+2ax,g(x)=3a^2Inx+b，其中a>0.设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点，且在公共点处的切线相同。
（1）。若a=1。求b的值
（2）。用a代表b，并求出b的最大值
解：

1、

a=1时，

f(x)=(1/2)x²+2x，

g(x)=3lnx+b,

f'(x)=x+2=g'(x)=3/x,
结合x>0，解得x=1,

g(1)=b=f(1)=5/2,

即b=5/2,

2、

f'(x)=x+2a，

g'(x)=3a²/x,

f'(x)=g'(x),x>0,a>0,

解得x=a,

g(a)=3a²lna+b=f(a)=(5/2)a²,

所以

b=(5/2)a²-3a²lna

=a²(5/2-3lna)，

b'=5a-3(2alna+a)

=2a-6alna

=2a(1-3lna)

所以

a<e^(1/3)时，b'>0，递增，

a>e^(1/3)时，b'<0，递减，

所以在a=e^(1/3)时取得最大值，

最大值为b=(3/2)*e^(2/3),

谢谢！