Question

高数微分方程问题

如图，请教各位这一题怎么写。多谢！

Answer 1

∵ y₁=e^x是其特解；因此另一特解y₂是：

故其通解为：

选A。

追问

请问这是有公式吗？如何得知另一个特解这么表示并求得的呢？

追答

形如y''+P(x)y'+Q(x)y=0的变系数二阶齐次线性方程，有经典的解法：

用观察法求得一特解y₁(本例中已给出y₁=e^x)；另一特解的求解公式为：

追问

谢谢您！

追答

不用谢。若满意，请采纳。

Answer 2

5.若A.则y=ln|x|*e^x是方程的解，
y'=(ln|x|+1/x)e^x,
y''=(ln|x|+2/x-1/x^2)e^x,
都代入方程，两边都除以e^x,得ln|x|+2/x-1/x^2-(2-1/x)(ln|x|+1/x)+ln|x|=0成立，
选A.

追问

那么请问这一题能不能不用代入法做呢？用已知条件还有什么解法吗？

追答

设y=e^x*c(x)是方程的解,则
y'=e^x[c(x)+c'(x)],
y''=e^x[c(x)+2c'(x)+c''(x)],
都代入方程，两边都除以e^x,得
c(x)+2c'(x)+c''(x)-(2-1/x)[[c(x)+c'(x)]+(1-1/x)c(x)=0,
整理得c''(x)+c'(x)/x=0,
分离变量得d[c'(x)]/c'(x)=-dx/x,
积分得ln[c'(x)=-lnx+lnc1,
c'(x)=c1/x,
c(x)=c1ln|x|+c2,
所以y=[c1ln|x|+c2]e^x.

Answer 3

法国叫姐姐