Question

证明函数f（x）=x³在（-∞，＋∞）上是增函数。

Answer 1

这个递增函数的证明，应该是要求用定义证明，我在这个初等函数的增减性一目了然，
设 x1<x2，则x1-x2<0
f（x1）=f（x2）=x1³-x2³=(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2)
=(x1-x2)[x1^2+(x1+x2)^2+x2^2]/2<0
f（x1）<f（x2）
所以 f（x）是 R 上的单调递增函数，

Answer 2

f(x) =x^3
f'(x)= 3x^2 ≥0
=>

f（x）=x^3 在（-∞，＋∞）上是增函数

Answer 3

从定义出发去证明的话：

令x1<x2，且x1,x2∈(-∞,+∞)

f(x1)-f(x2)

=x1³-x2³

=(x1-x2)(x1²+x1x2+x2²)

若x1,x2同号，则由于x1-x2<0,x1²+x1x2+x2²>0，所以f(x1)-f(x2)<0.

若x1,x2异号, 取x3=-x2, x3与x1同号， x1²+x1x2+x2²=x1²-x1x3+x3²>x1²-2x1x3+x3²=(x1-x3)²≥0，所以f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(x1²+x1x2+x2²)≤0.

综上二者，f(x1)-f(x2)≤0在(-∞,+∞)上恒成立，所以f(x)是增函数。

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从导数角度出发，f'(x)=3x²≥0，所以f(x)是增函数。