Question

设函数f(x)=e^x+e^-x,证明函数f(x)在(0,+∞)上是单调增函数

Answer 1

因f(-x)=-f(x),可见函数是奇函数，因此函数图象关于原点对称。
先只考虑在区间［0，1）上的情形。
设有x1，x2，满足0<=x1
1-x2^2>0
所以，x1/(1-x1^2)
x2/(x2^2-1)
即f(x1)>f(x2)
因此，f(x)在［0，1）上单调减少。
由对称性知，f(x)在（－1，0］上也单调减少。
因此，f(x)在(-1,1)上单调减少。

Answer 2

假设b>a>0
f(b)-f(a)=e^b+e^(-b)-e^a+e^(-a)
由于b>a>0
所以e^b-e^a>0;e^(-a)-e^(-b)>0
所以f(b)-f(a)>0
所以单调递增