Question

(X,Y)服从D上的均匀分布，D由x轴、y轴及x+y=1围成，求协方差Cov(X,Y)?

Answer 1

∵x+y=1与x轴、y轴围成区域D的面积SD=1/2，∴根据均匀分布的定义，(X,Y)的分布密度函数f(x,y)=1/SD=2，D∈{(x,y)丨x≥0、y≥0、x+y≤1}；f(x,y)=0，(x,y)∉D。
∴X的边缘分布密度函数fX(x)=∫(-∞,∞)f(x,y)dy=∫(0,1-x)2dy=2(1-x)。同理，Y的边缘分布密度函数fY(y)=∫(-∞,∞)f(x,y)dx=∫(0,1-y)2dx=2(1-y)。
∴E(X)=∫(0,1)xfX(x)dx=2∫(0,1)x(1-x)dx=1/3。同理，E(Y)=∫(0,1)yfY(y)dy=1/3。E(XY)=∫(0,1)dx∫(0,1-x)xyf(x,y)dy=∫(0,1)x(1-x)²dx=1/12。
∴Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)*E(Y)=1/12-(1/3)²=-1/36。
供参考。

追问

您好，我还是不太明白积分限啊，D是由x轴、y轴和x+y=1围成的，则0≤x≤1且0≤y≤1啊，那积分限应该是∫(0,1)∫(0,1)啊，为什么是∫(0，1–x)和∫(1,y)啊?

您好，我还是不太明白积分限啊，D是由x轴、y轴和x+y=1围成的，则0≤x≤1且0≤y≤1啊，那积分限应该是∫(0,1)和∫(0,1)啊，为什么是∫(0，1–x)和∫(1,1–y)啊?

追答

∵D是x轴、y轴与x+y=1所围成想闭区域，∴D={(x,y)丨x≥0、y≥0、x+y≤1}。又，x+y=1即x、y的变化是不能越过x+y=1这条直线的。∴确定了0≤x≤1，则y=1-x 。结合y≥0，∴0≤y≤1-x。同理，0≤x≤1-y。

追问

谢谢，非常感谢您耐心的解答

谢谢，非常感谢您耐心的解答