Question

怎么证明sin(α+β)>|sinα-sinβ|？

怎么证明sin(α+β)>|sinα-sinβ|，在α，β∈(0，π)且α+β<π的情况下

Answer 1

利用和差化积公式就可以了
左边=sin[2*(a+b)/2]=2sin[(a+b)/2]cos[(a+b)/2]
右边=|2cos[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]|
显然大家都有公因式2和cos[(a+b)/2],并且这两项都是正的,所以只要证明sin[(a+b)/2]>|sin[(a-b)/2]|
由於不等式对於a和b形式对称,可设a≥b
因为b>0,所以a+b>a-b≥0
又根据已知条件,(a+b)/2∈(0,π/2),所以(a-b)/2∈[0,π/2)
在[0,π/2)上sinx为增函数,所以有sin[(a+b)/2]>sin[(a-b)/2]成立
所以原不等式成立

Answer 2

最简洁设三角形三边分别为a=sinα*2R,b=sinβ*2R,
c=sin(π-α-β）*2R=sin(α+β）*2R,
两边之差小于第三边
得│sinα*2R-sinβ*2R│＜sin(α+β）*2R,
即│sinα-sinβ│＜sin(α+β）,

Answer 3

高中三角，理科高考范围，