Question

一道奇怪的数学题

Answer 1

1.sinA1=cosA2
sinB1=cosB2
sinC1=cosC2
因为A1,B1,C1,A2,B2,C2都属于(0,π)所以上面六个值都大于0
所以A2,B2,C2都属于(0,π/2)
即三角形A2B2C2是锐角三角形.
2.假设三角形A1B1C1也是锐角三角形,则有A1=π/2-A2
B1=π/2-B2
C1=π/2-C2
即A1+B1+C1=3π/2-(A2+B2+C2)=π/2≠π
故三角形A1B1C1不是锐角三角形
同理可证三角形A1B1C1也不是直角三角形
即三角形A1B1C1是钝角三角形

Answer 2

sinA1=cosA2,sinB1=cosB2,sinC1=cosC2
对sinA1=cosA2变形考察A1与A2的关系
sinA1-cosA2=sinA1-sin(π/2-A2)=2cos[(π/2+A1-A2)/2]sin[(A1+A2-π/2)/2]=0
∴(π/2+A1-A2)/2=π/2,或(A1+A2-π/2)/2=0
∴A1-A2=π/2,或A1+A2=π/2
∴A1=A2+π/2>π/2,或A1+A2=π/2
同理B1=B2+π/2>π/2,或B1+B2=π/2
C1=C2+π/2>π/2,或C1+C2=π/2
分析:一个三角形中至多有1个钝角
①若没有钝角,A1+B1+C1+A2+B2+C2=(A1+A2)+(B1+B2)+(C1+C2)=3π/2≠2π,三角形内角和不符,不可能
②若A是钝角,B1+B2=C1+C2=π/2,∴A1+A2=2π-π=π
而A1=A2+π/2,∴A1=3π/4,A2=π/4
综上,可能的情况A1=3π/4,A2=π/4,B1+B2=C1+C2=π/2
A1B1C1为有一个角是3π/4的钝角三角形,A2B2C2为有一个角为π/4的锐角三角形