第九题!高等代数，要求不用行列式，从映射角度做!
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把A和B看成K^n->K^n的线性变换
从AB是双射可以推出A是满射,
B是单射
对于有限维空间上的线性变换,
单射和满射是等价的,
所以同时有A是单射,
B是满射
至于有限维空间上单射和满射的等价性,
假定A不是单射但是是满射,
那么存在x≠y使得Ax=Ay,
即A(x-y)=0.
把e_1=x-y张成K^n的一组基{e_1,e_2,...,e_n},
得到{Ae_1,...,Ae_n}线性相关(因为Ae_1=0),
所以不构成K^n的基,
必定存在z不属于span{Ae_1,...,Ae_n}=Image(A),
这与A是满射矛盾.
类似地可以证明单射也蕴含满射.
从AB是双射可以推出A是满射,
B是单射
对于有限维空间上的线性变换,
单射和满射是等价的,
所以同时有A是单射,
B是满射
至于有限维空间上单射和满射的等价性,
假定A不是单射但是是满射,
那么存在x≠y使得Ax=Ay,
即A(x-y)=0.
把e_1=x-y张成K^n的一组基{e_1,e_2,...,e_n},
得到{Ae_1,...,Ae_n}线性相关(因为Ae_1=0),
所以不构成K^n的基,
必定存在z不属于span{Ae_1,...,Ae_n}=Image(A),
这与A是满射矛盾.
类似地可以证明单射也蕴含满射.
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