Question

设f（x）=x（x－1）（x-2）（x-3），证明f'（x）=0有且只有三个实根

Answer 1

f(x)是
四次函数
，f(x)在[0,1][1,2][2,3]连续，在(0,1)(1,2)(2,3)上
可导
。
又f(0)=f(1)=f(2)=f(3)。由
罗尔定理
得，
在(0,1)(1,2)(2,3)分别有且只有1个x使f'(x)=0，
所以f'(x)=0有且只有3个实根。

Answer 2

ξ3,
使得f′(ξ2)=0,和ξ3函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4),在区间[1,2]上满足罗尔定理条件,
那么必然存在一点ξ1∈(1,2)使得f′(ξ1)=0,f′(ξ3)=0;
这表明f`(x)=0有三个实根ξ1,ξ2;
同理,在区间[2,3]和[3,4]上存在点ξ2