Question

复数不等式的证明？

复数不等式的证明:|z|=r<1,证明：(1-r)|z-z*|≤|1-z|²√r其中z*表示z的共轭。具体见图，谢谢：

Answer 1

设z=r(cosa+isina),则
z*=r(cosa-isina),
|z-z*|=2r|sina|,
|1-z|^2=|1-r(cosa+isina)|^2
=|1-rcosa-risina|^2
=(1-rcosa)^2+(rsina)^2
=1+r^2-2rcosa,
所以(1-r)|z-z*|-|1-z|²√r
=2r(1-r)|sina|-(1+r^2-2rcosa)√r
=2r(1-r)|sina|+2r√rcosa-(1+r^2)√r
=2r√(1-r+r^2)sin(a+t)-(1+r^2)√r
≤2r√(1-r+r^2)-(1+r^2)√r≤0，
<==4r(1-r+r^2)≤1+2r^2+r^4,
<==>r^4-4r^3+6r^2-4r+1=(r-1)^4≥0,
所以命题成立。

追问

=2r(1-r)|sina|+2r√rcosa-(1+r^2)√r
=2r√(1-r+r^2)sin(a+t)-(1+r^2)√r
请问sin(a+t）的系数不应该是取倒数吗？

追答

usina+vcosa=√(u^2+v^2)sin(a+t).

追问

十分感谢

Answer 2

设z=r(cosa+isina),则 z*=r(cosa-isina),|z-z*|=2r|sina|,|1-z|^2=|1-r(cosa+isina)|^2 =|1-rcosa-risina|^2 =(1-rcosa)^2+(rsina)^2 =1+r^2-2rcosa,所以(1-r)|z-z*|-|1-z|&...