Question

已知函数f（x）=2x−12x+1．

Answer 1

解题思路：（1）f（x）=1-，利用函数单调性的定义即可证明；
（2）由定义可判断f（x）为奇函数，利用函数的奇偶性及单调性可去掉不等式中的符号“f”，从而转化为具体不等式恒成立问题，
进而转化为函数最值问题即可解决．

（1）f（x）=1-[2
2x+1，
在R上任取x1，x2，且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=（1-
2
2x1+1）-（1−
2
2x2+1）
=
2(2x1−2x2)
(2x1+1)(2x2+1)，
因为x1＜x2，所以0＜2x1＜2x2，所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在R上单调递增．
（2）f（-x）=
2−x−1
2−x+1=
1−2x
1+2x=-
2x−1
2x+1=-f（x），
即f（x）=-f（-x），
不等式f（t2-2kt）+f（2t2-k）＞0可化为f（2t2-k）＞-f（t2-2kt），即f（2t2-k）＞f（2kt-t2），
又f（x）在R上单调递增，所以2t2-k＞2kt-t2，即3t2-2kt-k＞0，
则问题转化为不等式3t2-2kt-k＞0在t∈[1，3]上恒成立，也即k＜
3t2/2t+1]在t∈[1，3]上恒成立，
令g（t）=
3t2
2t+1t∈[1，3]，则g′（t）=
6t2+6t
(2t+1)2＞0，
所以g（t）在[1，3]上单调递增，g（t）min=g（1）=1，
所以k＜1，即k的取值范围是（-∞，1）．

点评：
本题考点： 奇偶性与单调性的综合．

考点点评： 本题考查函数的单调性、奇偶性的判断及不等式恒成立问题，对不等式恒成立问题往往转化为函数最值问题加以解决．