Question

导数压轴题

第三问重点

Answer 1

(3)
设P(x1,y1)，Q(x2,y2)(其中设x2>x1>0)，R(x0,y0)。
令h(x)=lnx-(1/2)ax^2-bx
则h'(x)=1/x-ax-b
问题等价于h'(x0)能否等于0。
假设存在R满足题意，即存在x0使h'(x0)=0
由已知
(1) 2lnx1-(1/2)ax1^2-bx1=0
(2) 2lnx2-(1/2)ax2^2-bx2=0
(3)(x1+x2)/2=x0
(4)1/x0-ax0-b=0
联立上述4式，得存在x1,x2的值使2(x2-x1)/(x1+x2)=ln(x2/x1)成立。
令x2/x1=t(t>1)
即f(t)=lnt-(2t-2)/(t+1)=0有解。
又因为f(1)=0
f'(t)=(t-1)^2/t(t+1)^2>0
所以f(t)>0
与假设矛盾，故不存在点R满足题意。