Question

证明若A和B属于F,P(A∪B)+P(A∩B)=P(A)+P(B)？

Answer 1

• 答：由概率公理知，对于任意的事件E，有$0 \le P(E) \le 1$，即任意事件的概率值非负且不大于1。
  
  考虑事件A和B的关系，可以分成四种情况，分别是：
  
  （1）$A \cap B = \varnothing$，即事件A和B互不相交，此时$A \cup B = A+B$，有
  
  $$P(A \cup B)=P(A \cap B)=P(A)+P(B)$$
  
  等式左侧，$A \cup B$是一个大事件，其概率为1，即$P(A \cup B)=1$，带入等式左侧得：
  
  $$P(A)+P(B)=P(A \cap B)+1$$
  
  移项可得：
  
  $$P(A \cap B)=P(A)+P(B)-1$$
  
  对于互不相交的事件A和B来说，$A \cap B = \varnothing$，因此左侧等于0，右侧等于$P(A)+P(B)-1$，两者相等，原命题成立。
  
  （2）$A \subseteq  B$，即事件A是事件B的子集，此时$A \cup B = B$，因此有
  
  $$P(A \cup B)=P(B)$$
  
  又因为$A \subseteq B$，所以有$A \cap B = A$，得：
  
  $$P(A \cap B)=P(A)$$
  
  带入原等式，有
  
  $$P(A)+P(B)=P(A)+P(B)-P(A)+1$$
  
  整理可得：
  
  $$1=1$$
  
  这是一个恒等式，原命题成立。
  
  （3）$B \subseteq A$，即事件B是事件A的子集，与情况（2）同理，此时也有原命题成立。
  
  （4）$A \cap B
  eq \varnothing$且$A
  ot\subseteq B$且$B
  ot\subseteq A$，即事件A和B互相独立但又有交集。
  
  此时，有
  
  $$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$$
  
  $$P(A)+P(B)=P(A \cap B)+P(A)+P(B)-P(A \cap B)$$
  
  $$P(A)+P(B)=P(A\cap B)+1$$
  
  移项可得：
  
  $$P(A\cap B)=P(A)+P(B)-1$$
  
  同理可知，该情况下的命题成立。
  
  综上，无论事件A和B的关系是何种情况，原命题均成立，证毕。