Question

当0<=x<=a时，f(x)=1，当a<=x<=π时，f(x)=0，(0<=a<=π），将f（x)展开成余弦级数

Answer 1

问：当0<=x<=a时，f(x)=1，当a<=x<=π时，f(x)=0，(0<=a<=π），将f（x)展开成余弦级数

答：根据傅里叶级数的定义，将函数 $f(x)$ 展开成余弦级数的公式为：$$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right)$$其中，$a_0$ 和 $a_n$ 分别为：$$a_0 = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) dx$$$$a_n = \frac{2}{L} \int_{0}^{L} f(x) \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) dx$$根据题目中的条件，可以得到：$$a_0 = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) dx = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{a} dx = \frac{2a}{\pi}$$$$a_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \cos\left(\frac{n\pi x}{\pi}\right) dx = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{a} \cos\left(\frac{n\pi x}{\pi}\right) dx = \frac{2}{n\pi} \left[\sin\left(\frac{n\pi x}{\pi}\right)\right]_{0}^{a} = \frac{2}{n\pi} \sin(na)$$因此，将 $f(x)$ 展开成余弦级数为：$$f(x) = \frac{a}{\pi} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n\pi} \sin(na) \cos(nx)$$其中，$0 \leq x \leq a$，$a \leq x \leq \pi$，$0 \leq a \leq \pi$。