Question

在直角三角形abc中,∠C=90度,将三角形绕点A按顺时针方向旋转一定的角度后得到三角形ADE，点C的对应点D恰为三角形ABC 的重心，DE交AB于点Q，证明角CDA=角CAB 求DQ/QE

Answer 1

问：在直角三角形abc中,∠C=90度,将三角形绕点A按顺时针方向旋转一定的角度后得到三角形ADE，点C的对应点D恰为三角形ABC 的重心，DE交AB于点Q，证明角CDA=角CAB 求DQ/QE

答：亲，首先，由于点D为三角形ABC的重心，因此CD是AB的中线，即CD平分AB，即AC=CB。又因为ADE是将ABC绕点A旋转得到的，所以∠DAE=∠C。又因为∠CAB=90度-∠ACB，所以∠CAB=∠DAE，即三角形CDA与三角形CAB的对应角相等。。接下来考虑求DQ/QE。由于CD平分AB，所以AQ=QB。又因为三角形ADE是将三角形ABC绕点A旋转得到的，所以∠DAE=∠CAB。因此，三角形ADE与三角形ACB相似，即ADE/ACB=AE/AC=DE/CB。又因为CD平分AB，所以DQ/QB=DE/EB，即DQ/QE=(DQ/QB)/(QE/EB)=(1+DQ/QB)/DQ/QB=1/[(DE/CB)-1]=CB/(DE-CB)。因此，我们只需求出CB和DE即可求出DQ/QE。由于三角形ADE与三角形ACB相似，所以AE/AC=DE/CB。又因为AC=CB，所以AE=DE，即DE/CB=1。因此，DQ/QE=CB/(DE-CB)=CB/(1-CB)=CB/(BC-1)。由于三角形ABC是直角三角形，所以可以利用勾股定理求出BC的值，进而求出DQ/QE的值