Question

一道初二的数学题，我需要你的帮助，而不是复制！

现有A、B、C、D四种装满水的圆柱体容器，A、B的底面积均为a²，高分别为a和b，C，D的底面积均为b²，高分别为a和b，（a不等于b），、西安规定一种游戏规则，每人一次从四个容器中选两个，盛水多者为胜，问先取者有没有必胜的方案？若有的话有几种？

Answer 1

解：通过题意得出4个容器的容积分别为：
A=a3
B=a2b
C=b2a
D=b3
假设：a>b 则容器(容积)A>B>C>D
所以：选两个容积必胜方案为：A+B；A+C；A+D (三种)
同理：如果a<b
则：选两个容积必胜方案为：D+A;D+B;D+C (三种)
所以先取者必胜的方案有三种。

Answer 2

若不清楚 a 和 b 的大小关系，则 取 两个正方体。
证明如下
a^3 + b^3 - a^2b - ab^2
= a^2(a-b) + b^2(b-a)
= (a-b)(a^2 -b^2)
= (a-b)^2 (a+b)
恒大于0。

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若清楚 a 和b的大小关系。例如设 a > b
则取 体积为a^3者 ，随便另加一个 非b^3 者。
证明如下

a^3 + a^2b - ab^2 - b^3
= a^2(a+b) - b^2(a+b)
=(a^2 -b^2)(a+b)
恒大于0

a^3 + ab^2 - a^2b -b^3
= a(a^2+b^2) - b(a^2+b^2)
=(a-b)(a^2 +b^2)
恒大于0

Answer 3

解：A的体积为a²×a=a³，B为a²b，C为b²a，D为b³
A+D=a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)>(a+b)(2ab-ab)
(a+b)(2ab-ab)=ab(a+b)=B+C
所以先取A、D必胜。

Answer 4

如果a不等于b, 则先取者可以必胜： 取A和D桶 即可。

（因为a² * a + b²*b > a² *b+b²*b
证明如下：（a² * a + b²*b） - （a² *b+b²*b）
=（a²- b²）*（a-b）>0 (无论a和b谁大）

Answer 5

首先确定梯形的高
设 BC=x ，并由D 向AB边做高 垂足为E ，则BC=DE=X
因为 BC+AD=5
所以 AD=5-x
在Rt△ADE中可得到如下关系， BC=½AD
即 x=½（5-x）得到 x=5/3
面积S=1/2 ·BC·（AB+CD）=0.5·5/3·8=20/3