Question

如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC,点E是线段 AD上的一个动点（E与A,D不重合），G,F,H分别是BE,BC,CE的中点。

如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC,点E是线段 AD上的一个动点（E与A,D不重合），G,F,H分别是BE,BC,CE的中点。（1）试探索四边形EGFH的形状，并说明理由；(2)当点E运动到什么位置时，四边形EGFH是菱形？请加以证明；（3)若（2）中的菱形EGFH是正方形，请探索线段EF与线段BC的关系，并证明你的结论

Answer 1

egfh是平行四边形 任何三角形3边中点和其中一顶点组成的三角形都是平行四边形 第二个问题egfh是菱形的条件是ef垂直gh 所以e点在ad中点 第3个问题 egfh是正方形的条件是ef垂直gh且ef=gh 因为gh=1/2bc且gh平行bc 所以ef与bc的关系是 ef垂直bc且ef=1/2bc 3个问题都用到的公式是 三角形任意两边中点连的线段平行底边且等于1/2底边

Answer 2

解：（1）四边形EGFH为平行四边形．
∵G、F、H分别是BE、BC、CE的中点，
∴FG、FH为△EBC的中位线，
∴FG∥EH，FH∥GE，
∴EGFH为平行四边形．
（2）当点E运动到AD的中点时，平行四边形EGFH为菱形．
∵当点E运动到AD的中点时，AE=ED，
又∠A=∠D，AB=CD，
∴△ABE≌△DCE（SAS）
∴BE=CE，
∴EG=EH，
故平行四边形EGFH为菱形．

Answer 3

证明：（1）G、F、H是BE、BC、CE的中点，
∴EG∥HF，EH∥GF，
∴四边形GFHE是平行四边形．

（2）当点E运动到边AD的中点时，四边形EGFH是菱形．
理由：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠A=∠D，AB=CD，
在△ABE和△DCE中，
AB=DC∠A=∠DAE=DE​，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴BE=CE，
∵G、F、H是BE、BC、CE的中点，
∴FH=EG=12BE，FG=EH=12CE，
∴EG=FG=FH=EH，
∴四边形EGFH是菱形；

（3）EF=12BC．垂直．
证明：∵四边形EGFH是正方形，
∴∠BGF=∠CHF=90°，
∵FG=EG=BG=FH=EH=CH，
∴△BGF≌△FHC，
∴BF=FC，
∵BE=CE，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴EF=12BC，EF⊥BC．

Answer 4

解：（1） EFGH为平行四边形

理由;∵G、F、H分别是BE、BC、CE的中点

∴GF∥EC 且GF=1/2EC

FH∥BE 且FH=1/2BE

∴ EFGH为平行四边形

（2）当点E运动到AD的中点时，四边形EGFH是菱形

证明：∵四边形ABCD是等腰梯形

∴AB=CD ∠A=∠D

∵AE=DE

∴△ABE≌△DCE

∴BE=CE

由（1）可知GF=1/2EC FH=1/2BE

∴GF=FH

∵ EFGH为平行四边形

∴四边形EFGH是菱形

（3）EF垂直平分BC

证明：∵ 菱形EGFH是正方形

∴∠GEF=EGF=∠GFH=∠FHE=∠BGF=∠FHC=90°

∵BE=CE

∴∠EBF=∠GFB=∠HFC=∠HCF=45°

∴△BGF≌△HFC

∴BF=CF

连结EF 则∠EFG=45°

∴∠EFB=∠BFG+∠EFG=90° 即EF⊥BC

∴ EF垂直平分BC

Answer 5

1,平行四边形
在三角形bfe中 g，f分别是be，bc的中点
所以 gf=1\2ec h是ec中点 所以 gf=eh
同理fh=eh
所以 四边形egfh是平行四边形

2，e到ad中点时egfh是菱形
连接ef 因为adcb是等腰梯形 所以 角bad=角cda 且ab=cd 因为e是ad中点
所以ae=de 所以三角形abe=三角形dce 所以be=ce
又因为 g，h分别是be，ce的中点
所以eg=eh
所以此时 平行四边形egfh是菱形

Answer 6

证明：（1）G、F、H是BE、BC、CE的中点，
∴EG∥HF，EH∥GF，
∴四边形GFHE是平行四边形．

（2）当点E运动到边AD的中点时，四边形EGFH是菱形．
理由：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠A=∠D，AB=CD，
在△ABE和△DCE中，
AB=DC，∠A=∠D，AE=DE
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴BE=CE，
∵G、F、H是BE、BC、CE的中点，
∴FH=EG=½BE，FG=EH=½CE，
∴EG=FG=FH=EH，
∴四边形EGFH是菱形；

（3）EF=½BC
证明：∵四边形EGFH是正方形，
∴∠BGF=∠CHF=90°，
∵FG=EG=BG=FH=EH=CH，
∴△BGF≌△FHC，
∴BF=FC，
∵BE=CE，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴EF=½BC