Question

求和Sn=1+3a+5a^2+2a^2+...+(2n-1)*a^(n-1)

Answer 1

Sn=1+3a+5a^2+7a^3+...+(2n-1)*a^(n-1) （1）式
a*Sn= a+3a^2+5a^3+...+(2n-3)*a^(n-1)+(2n-1)*a^n (2)式
则用（1）-(2)得
Sn-a*Sn=1+2*a+2*a^2+2*a^3+...2*a^(n-1)+(2n-1)*a^n
即 （1-a）*Sn=1+2[a+a^2+a^3+...+a^(n-1)]+(2n-1)*a^n
上式中括号里的式子运用等比数列求和公式
即（1-a）*Sn=1+2[a(1-a^(n-1))/(1-a)]+(2n-1)*a^n
所以 Sn={1+2[a(1-a^(n-1))/(1-a)]+(2n-1)*a^n }/(1-a)

Answer 2

应该是Sn=1+3a+5a^2+7a^3+...+(2n-1)*a^(n-1) 吧。
Sn=1+3a+5a^2+7a^3+...+(2n-3)a^(n-2)+(2n-1)a^(n-1)
aSn=a+3a^2+5a^3+...+(2n-3)a^(n-1)+(2n-1)a^n
(1-a)Sn=1-a+3a+2a^2+2a^3+...+2a^(n-1)-(2n-1)a^n
=1+2a+2a^2+...+2a^(n-1)-(2n-1)a^n
=2+2a+2a^2+...+2a^(n-1)-(2n-1)a^n-1
=2(a^n-1)/(a-1)-(2n-1)a^n-1
=[(2na-2n-a-1)a^n+a+1]/(1-a)

Sn=[(2na-2n-a-1)a^n+a+1]/(1-a)^2