Question

急急急如图，（1），AB是圆O的直径，AC是弦，直线EF和圆O相切于点C，AD⊥EF，垂足为D.(1);求证∠DAC=∠BAC

(2);若把直线EF想上平行移动，如图（2），EP交圆O于G，C两点，若题中的其他条件不变。这时与∠DAC相等的角是那一个？为什么？

Answer 1

（1）证明：如图一，连接OC，则OC⊥EF，且OC=OA，
易得∠OCA=∠OAC．
∵AD⊥EF，
∴OC∥AD．
∴∠OCA=∠CAD，
∴∠CAD=∠OAC．
即∠CAD=∠BAC．
（2）解：与∠CAD相等的角是∠BAG．
证明如下：
如图二，连接BG．
∵四边形ACGB是⊙O的内接四边形，
∴∠ABG+∠ACG=180°．
∵D，C，G共线，
∴∠ACD+∠ACG=180°．
∴∠ACD=∠ABG．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BAG+∠ABG=90°
∵AD⊥EF
∴∠CAD+∠ACD=90°
∴∠CAD=∠BAG．

Answer 2

（1）连接OC
因为∠DAC+∠DCA=90
∠DCA+∠OCA=90
所以∠DAC=∠OCA
又因为∠OCA=∠OAC
所以∠DAC=∠BAC
(2)连接BG
因为是∠ACD是四边形的外角，外角等于内对角
所以∠ACD=∠CBA
又因为∠GBA+BAG=90
∠ACD+∠CAD=90
所以∠CAD=∠BAG

Answer 3

（1）连接OC，则OC⊥EF，且OC=OA，
易得∠OCA=∠OAC．
∵AD⊥EF，
∴OC∥AD．
∴∠OCA=∠CAD，
∴∠CAD=∠OAC．
即∠CAD=∠BAC．
（2）解：与∠CAD相等的角是∠BAG．
∵四边形ACGB是⊙O的内接四边形，

∴∠ABG+∠ACG=180°．
∵D，C，G共线，
∴∠ACD+∠ACG=180°．
∴∠ACD=∠ABG．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BAG+∠ABG=90°
∵AD⊥EF
∴∠CAD+∠ACD=90°
∴∠CAD=∠BAG．

Answer 4

（1）证明：如图一，连接OC，则OC⊥EF，且OC=OA，
易得∠OCA=∠OAC．
∵AD⊥EF，
∴OC∥AD．
∴∠OCA=∠CAD，
∴∠CAD=∠OAC．
即∠CAD=∠BAC．
（2）解：与∠CAD相等的角是∠BAG．
证明如下：
如图二，连接BG．
∵四边形ACGB是⊙O的内接四边形，
∴∠ABG+∠ACG=180°．
∵D，C，G共线，
∴∠ACD+∠ACG=180°．
∴∠ACD=∠ABG．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BAG+∠ABG=90°
∵AD⊥EF
∴∠CAD+∠ACD=90°
∴∠CAD=∠BAG．

Answer 5

解：（1）连接OC，如图①所示，
∵OC=OA，
∴∠BAC=∠OCA，
∵EF切⊙O于C，
∴OC⊥EF，又AD⊥EF，
∴OC∥AD，
∴∠OCA=∠DAC，
∴∠DAC=∠BAC；
（2）∠BAG=∠DAC，理由如下：
连接BC，如图②所示，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，
∴∠B ∠BAC=90°，
∵AD⊥EF，∴∠ADG=90°，
∴∠AGD ∠GAD=90°，
又∠B=∠AGD，
∴∠BAC=∠GAD，
∴∠BAG ∠GAC=∠GAC ∠DAC，即∠BAG=∠DAC．