Question

二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1

.（1）求f（x）的解析式；（2）在区间[-1，2]上求y=f（x）的值域。

Answer 1

1、令X=0，得
f(1) - f(0) = 2 *0 => f(1) = f(0)=1
2、f(2) - f(1) = 2 * 1
f(3) - f(2) = 2 * 2
........................
f(x) - f(x-1) = 2 * (x-1)
以上各式相加得 f(x) - f(1) = 2 * [ 1+2+...(x-1) ]
即有 f(x) = f(1) + 2 * [1+(x-1)] *(x-1) / 2= 1 + x *(x-1) = x² - x +1
3、由图示可知，对称轴 x=1/2,顶点(1/2,3/4),开口向上
f(-1) = f(2) =3
于是f(x)值域为 [3/4,3]

Answer 2

设f(x)=ax^2+bx+c
f（x+1）-f（x）=2ax+a+b=2x 所以a=1 b=-1
f(0)=c=1
f(x)=x^2-x+1=(x-1/2)^2+3/4
x=-1/2时取得最小值，可在区间内取到
最大值在离对称轴远的区间端点上取到，即x=-1或x=2
所以3/4=<f(x)<=3
值域为
[3/4,3]

Answer 3

f(1+0)-f(0)=0 f(1)=1=2-1
f(1+1)-f(1)=2 f(2)=3=2²-1
f(3)-f(2)=2×2 f(3)=7=2³-1
....................
f(x)-f(x-1)=2(x-1) =2^x-1
x=-1,f(x)=-0.5
x=2,f(x)=3,f(x)定义域内增函数，所以在区间[-1,2]上值域为[-½,3]