Question

已知数列{An}中，A1=0，An+1=1/2-An，n∈N*

1、求证：{1/An-1}是等差数列；并求{An}的通项公式
2、设Bn=An.(9/10)^n，n∈N*，试证明：对于任意的正整数m、n，都有|Bn-Bm|<1/2

求详解

Answer 1

1. A1=0，An+1=1/(2-An),
A2= 1/2
A3=2/3
A4=3/4
A5 = 4/5
...
{ 1/An-1}
n=1时{ 1/An-1} =-1
n=2时{ 1/An-1} =-2
n=3时{ 1/An-1} =-3
n=4时{ 1/An-1} =-4
n=5时{ 1/An-1} =-5
......
因此{ 1/An-1}为等差数列, {An}的通项公式为 An = (n-1)/n

2. Bn=An.(9/10)^n, 如果m=n, 则|Bn-Bm|=0<1/2
如果n<>m, 出于一般性,不防设 n>m>=1, 有
|Bn-Bm|= |(n-1)/n *(9/10)^n - (m-1)/m *(9/10)^m|
= (9/10)^n* | (n-1)/n - (m-1)/m*(9/10)(m-n)| = (9/10)^n * (n-1)/n <= (9/10)^n * 1/2 < 1/2
得证

Answer 2

我擦 你把A1=0带进去看看？等式都不是