Question

高中数学三角函数题目

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Answer 1

1, tan60=(tan17+tan43)/(1-tan17*tan43)=√3 得到：tan17+tan43+√3*tan17*tan43=√3
2，利用降幂公式，二倍角公式和万能公式，将正弦余弦转为正切再计算。
3sina^2+3sina*cosa-2cosa^2=3(1-cosa^2)+3sina*cosa-2cosa^2=3-5cosa^2+3sina*cosa
=3-5(1+cos2a)/2+3(sin2a)/2=3-5[1+(1-tana^2)/(1+tana^2)]/2+3[(2tana^2)/(1+tana^2)]/2
=3-5[1+(1-4)/(1+4)]/2+3[2*2/(1+4)]/2=3-1+6/5=16/5
3,sin(A+B)=sinA*cosB+cosA*sinB=3/5....(1)
sin(A-B)=sinA*cosB-cosA*sinB=1/5 ....(2)
(1)+(2) 得：2sinA*cosB=4/5 ....(3) 左右两边分别相加
(1)-(2) 得：2cosA*sinB=2/5 ....(4) 左右两边分别相减
(3)/(4) 得： tanA*cotB=2 即：tanA=2tanB 得证。

△ABC中sin(A+B)=3/5 知角A+B为锐角,则A,B都为锐角 得到cos(A+B)=4/5
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanA*tanB)=sin(A+B)/cos(A+B)=3/4 将tanB =(tanA)/2代入化简
得： tanA^2+4tanA-2=0 ,解得tanA=-2+√6 （注：负根舍去）
4，f(x)=cosx^2+2sinx*cosx-sinx^2=2cosx^2+2sinx*cosx-1=(1+cos2x)+sin2x-1
=√2sin(2x+45°)
最小正周期T=2*∏/2=∏; 后面计算都简单了自己求
5，角a的终点过（sin30°,-cos30°）知，角a为第四象限角，tana=-cos30/sin30=-√3
得到a=2k∏-∏/3 (k∈整数)
6，y=lgcosx 有cosx >0 解得：x∈（-∏/2+2k∏,∏/2+2k∏）(k∈整数)
7,sina^2+sina=1 有：1-cosa^2±√（1-cosa^2)=1，得到±√（1-cosa^2)=cosa^2 两边平方得：1-cosa^2=cosa^4
得：cosa^4+cos^2=1
8,sina+cosa=1 两边平方得 sina^2+2sina*cosa+cosa^2=1+2sina*cosa=1 得sina*cosa=0
sina-cosa=±√(sina-cosa)^2=±√(sina^2-2sina*cosa+cosa^2)=±√(1+0)=±1

仅供参考!
请自己复算下，没什么时间,工作较忙，见谅。

Answer 2

1.根据正切两角和的公式，变形后得： tan17+tan43=tan(17+43)(1-tan17*tan43)
原式=tan60(1-tan17*tan43) + √3tan17*tan43
=√3 - √3tan17*tan43 + √3tan17*tan43 =√3

2.原式=-2[(cosa)^2 - (sina)^2] + (sina)^2 + (3/2)sin2a
=-2cos2a + (1-cos2a)/2 + (3/2)sin2a = (1/2) - (5/2)cos2a + (3/2)sin2a
=(1/2) - (5/2){[1-(tana)^2] / [1+(tana)^2]} + (3/2){(2tana) / [1+(tana)^2]
=(1/2) - (5/2)*(-3/5) + (3/2)*(4/5) = 16/5

3.①两个式子展开：sin(A+B)=sinAcosB + cosAsinB=3/5
sin(A-B)=sinAcosB - cosAsinB=1/5
两式相加： 2sinAcosB = 4/5……(1)
两式相减： 2cosAsinB = 2/5……(2)
(1)÷(2)，得： tanAcotB=2
即：tanA=2tanB
②在△ABC中，sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=3/5
cosC=±√[1-(sinC)^2]=±4/5
tanC=sinC / cosC =±3/4
在△ABC中，有：tanA + tanB + tanC =tanA*tanB*tanC
当tanC=3/4时：tanA + (tanA/2) + (3/4) = tanA*(tanA/2)*(3/4)
解得：tanA=-2+√6 或 tanA=-2-√6（与题意不符，舍）
同理：当tanC=-3/4时：tanA=2+√6

4.f(x)=cosx^2+2sinx*cosx-sinx^2 =sin2x + cos2x =√2sin(2x + π/4)
(1)T= 2π/2 =π
(2)单调递增：2kπ - π/2 ≤ 2x + π/4 ≤ 2kπ + π/2
kπ - 3π/8 ≤ x ≤ kπ + π/8
单调递减：2kπ + π/2 ≤ 2x + π/4 ≤ 2kπ + 3π/2
kπ + π/8 ≤ x ≤ kπ + 5π/8
(3)当2x + π/4 =2kπ + π/2时，即：x=kπ + π/8时，f(x)取最大值√2
当2x + π/4 =2kπ + 3π/2时，即：x=kπ + 5π/8时，f(x)取最小值-√2

5.角a的终点过（sin30°,-cos30°），即：角a的终点过（1/2 , -√3/2）在第四象限
sina=-√3/2

6.∵cosx＞0 , ∴2kπ - π/2＜x＜2kπ + π/2

7.原方程化为：(sina)^2 + sina =(sina)^2 + (cosa)^2
sina=(cosa)^2
(cosa)^4 + (cosa)^2 = [(cosa)^2]^2 + (cosa)^2 =(sina)^2 + sina =1

8.两边平方：(sina+cosa)^2 =(sina)^2 + (cosa)^2 + 2sinacosa =1 + 2sinacosa =1
2sinacosa=0
(sina-cosa)^2 =(sina)^2 + (cosa)^2 - 2sinacosa =1-0=1
sina-cosa= ±1

Answer 3

（1） tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
所以答案为：根号3
（2） tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))
提出一个cosa^2,得结果为16*cosa^2，即8*cos2a+8,有上式得cos2a=-3/5,
所以答案为：16/5
（3）1》证明：sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
可得sinacosb=2/5,sinbcosa=1/5
两式相除得tana=2*tanb
2》tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanA*tanB)=sin(A+B)/cos(A+B)=3/4 将tanB =(tanA)/2代入化简
得： tanA^2+4tanA-2=0 ,解得tanA=-2+√6
(4)式子化简后为sin2x+cos2x,即为根号2倍的sin（2x+π/2）
1》所以最小正周期是：π
2》单调增区间：-3π/8+kπ<x<π/8+kπ
单调减区间：π/8+kπ<x<5π/8+kπ,k为整数
3》最大值为：根号2，x=kπ时取得
最小值为：负的根号2，x=π/2+kπ时取得
（5）tana=-(1/tan30)
所以tana=-根号3，所以sina=2分之根号3
（6）cosx>0,得
-π/2+2kπ<x<π/2+2kπ，k为整数
（7）cosa^4=(1-sina^2)^2=sina^2,
所以答案为：1
（8）答案为：1
两边求平方，先求出sinacosa的值就能求出答案了