Question

已知二次函数y=1/2x²-x+m的图像经过点A（-3，6），并与x轴交于B,C两点（点B在C左边）P为它的顶点。

(1)试确定m的值；
(2)求直线PC的解析式；
(3)在y轴上是否存在点M，使△PCM为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由（请用初中的相关知识解答，要详细的过程，谢谢）

Answer 1

来为无限，你好

1.y=1/2x²-x+m点A（-3，6）代入得m=-3/2
2.y=1/2x²-x-3/2 =1/2（x-1）^2-2 ，所以P（1.-2）
令y=0，X=-1或3 ，B（-1，0），C（3，0）
设直线PC的解析式为y=kx+b，把 P（1.-2）和C（3，0）代入得k=1，b=-3，所以y=x-3
3. PC=2√2
（1）使得PC=PM=2√2 ，过P做PD垂直y轴于D，PD=1，PM=2√2，所以DM=√7
OM=OD+DM=2+√7，所以M1（0，-2-√7）根据对称性M2 （0，√7-2）
（2）使得MP=MC，在y轴正方向上取一点M，在三角形OMC中，MC^2=OM^2+OC^2=OM^2+4
在三角形PDM中，MP^2=DP^2+DM^2=1+（2+OM）^2，因为MC^2=MP^2，
所以OM^2+4=1+（2+OM）^2，解得OM=-1/4，所以M应该在y轴负方向上，坐标为（0，-1/4）

综上（1）（2）中的M点都满足△PCM为等腰三角形成立的条件

希望对您有所帮助！