Question

如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，且AE与DE分别平分∠BAD和∠ADC

（1）求证：AE⊥DE；
（2）设以AD为直径的半圆交AB于F，连接DF交AE于G，已知CD=5，AE=8，求FG/AF值

Answer 1

(1)，因为 AE与DE分别平分∠BAD和∠ADC，
所以∠DAE=1/2 ∠BAD， ∠ADE=1/2 ∠ADC，
又因为 AB//CD，（平行四边形的两条对边互相平行）
所以 ∠BAD+∠ADC=180度。（两直线平行，同旁内角互补）
所以 ∠DAE+∠ADE=1/2( ∠BAD+∠ADC)=1/2*180度=90度。
所以 在三角形ADE中，∠AED=90度。
所以 AE⊥DE。
(2)，连接圆心O，与点E，则：OA=OE，（圆的半径）
所以∠OAE=∠AEO，（三角形OAE是等腰三角形）
又AE平分∠DAB，∠BAE=∠OAE，
所以∠BAE=∠AEO， （等量代换）
所以AB//OE， （内错角相等，两直线平行）
又AD//BC，AB//CD，AB=CD，（平行四边形的两条对边互相平行且相等）
所以 OE=CD=5， （四边形OECD是平行四边形）
所以AD=2OE=10， （AD是直径）
所以 DE^2=AD^2-AE^2=10^2-8^2=6^2， （勾股定理）
DE=6，
又直角三角形AFG，直角三角形AED （∠BAG=∠AED，∠AFG=∠AED=90度）
是相似三角形， （易证）
所以FG/AF=ED/AE=6/8=3/4。

Answer 2

解(1)AB‖CD
∠BAD+∠CDA=180°
∠EAD=∠EAB且∠CDE=∠ADE,∠ADE+∠EAD+∠AED=180°
∴∠AED=90°
∴AE⊥DE
(2)AB=CD=5
∵AD‖CE
∴∠ADE=∠CED
∴CE=CD=5
同理AB=BE=5
∴AD=10
又∵AE=8，∠AED=90°
∴DE=6
∵∠BAE=∠EAD,∠AFG=∠AED=90°
∴⊿AFG∽⊿AED
∴FG/AF=DE/AE=3/4