Question

高二数学 导数问题 急求。。在线等。。非常感谢

已知函数f(x)=kx的立方-9x的平方+（k+2）x+1(k>0)
1..若f(x)的单调减区间为（1/2. 1）求f(x)的解析式
2..当x>1时，求证2根号下x>3-1/x

Answer 1

1.f'(x)=3kx^2-18x+k+2
因为f(x)单调减区间为(1/2,1),所以有f'(x)的2个根为1/2,1
带入求得k=4,
f(x)=4x^3-9x^2+6x+1
2.f(1)=2
x>1时,f(x)>f(1)=2，即4x^3-9x^2+6x-1>0
而2√x>3-1/x
等价于4x>9-6/x+1/x^2
等价于4x^3-9x^2+6x-1>0 在x>1时恒成立
所以2√x>3-1/x 在x>1时成立

Answer 2

高中学的大多忘了 只能知道大概 可能不够严密
f'(x)=3kx~2-18x+k+2 既然是单调区间 所以可知边界处是0令f'(1)和f'(1/2)=0 可得K=4
第二问 令g（x）=2x~1/2+1/x-3 可知g(1)=0 g（x）在x=1这里是连续函数
g '(x)=x~(-1/2)-x~(-2) 如果x>1 时 g'(x)>0便可得证 而x~(-1/2)/x~(-2) =x~3/2 很明显大于1 所以可以得到结果了

Answer 3

1.求导，f'(x)=3kx^2-18x+k+2，又由于减区间为(1/2,1)，所以导函数等价于(x-1/2)(x-1)，即
3kx^2-18x+k+2>0可化简为：x^2-3x/2+1/2>0，很容易算出k=4，所以解析式为4x^3-9x^2+6x+1。
2.移项：得2根号下x+1/x>3，令f(x)=2根号下x+1/x，求导，f'(x)=1/根号x-1/x^2，当x>1时，很明显导函数为正，即f(x)从x=1开始单调递增，而f(1)=3，所以当x>1时，有f(x)>f(1)，求证式子成立。