Question

已知a∈R,函数f(x)=x|x-a|， （1）当a=2时，写出y=f（x）的单调递增区间；

（2）当a＞2时，求函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值；
（3）设a≠0，函数y=f（x）在（m，n)上既有最大值又有最小值，请分别求出m，n的取值范围（用a表示）

Answer 1

(1) ，a=2时，f(x)=x|x-2|的单调递增区间为：(-无穷，1)，(2，+无穷)。
(2) ，a＞2时，f(x)在区间(-无穷，a/2)，(a，+无穷)单调递增；
在区间(a/2，a)单调递减。
因为a＞2，所以 当2<a<=3时，1<a/2<=2<a，
函数y=f(x)在区间[1，2]上的最小值只在x=1或x=2时取得，
而f(1)=a-1 ， f(2)=2a-4。而3>=a>2，所以 f(1)>f(2)。
所以f(x)在区间[1，2]上的最小值为f(2)=2a-4；
3<a<=4时，1<a/2<=2<a，f(1)<f(2)，
所以f(x)在区间[1，2]上的最小值为f(1)=a-1；
a>4时，1<2<a/2，f(x)在区间(-无穷，a/2)，单调递增，
所以f(x)在区间[1，2]上的最小值为f(1)=a-1。
综上可知：当2<a<=3时，(x)在区间[1，2]上的最小值为f(2)=2a-4；
a>3时，f(x)在区间[1，2]上的最小值为f(1)=a-1。
(3)，函数y=f(x)在(m，n)上既有最大值又有最小值，
因为(m，n)为开区间，所以最大值，最小值只可能在极值点x=a/2，x=a处取得。
所以m<a/2 ，n>a。
故m，n的取值范围为：m<a/2，n>a。

Answer 2

（1）
当a=2时
y=f（x）
=
x|x
-
2|
当x≥2时
f（x）=
x²
-2
x≥0单调递增
所以x≥2时，f（x）单调递增
当x＜2时
f（x）=
2
-
x²
当x
≤0时，f（x）单调递增
满足x＜2
所以当a=2时，y=f（x）的单调递增区间是（-∞，0]和[2,﹢∞）
（2）
若a∈[1，2]
，当x
=
a时，f（x）取最小值=
0
若a＜1
，当x
=
1时
f（x）取最小值
=
1-a
若a＞2
，当x
=
2时
f（x）取最小值
=
2（a-2）