已知a³+b³+3ab=1,求a+b的值
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令a+b=t
有,1=(a+b)(a²+b²-ab)+3ab=(a+b)[(a+b)²-3ab]+3ab
=t(t²-3ab)+3ab=t³-3abt+3ab
所以有,t³-1-3abt+3ab=0
即,(t-1)(t²+t+1-3ab)=0
所以,t=1,或者
t²+t+1-3ab=0
又因为(a-b)²>=0
所以,(a+b)²>=4ab
上式可得
t²+t+1=3ab<=3(a+b)²/4=3t²/4
所以有,
t²/4+t+1<=0
即(t+2)²/4<=0
故只有,t+2=0;t=-2
所以,a+b有两个值,1和-2
有,1=(a+b)(a²+b²-ab)+3ab=(a+b)[(a+b)²-3ab]+3ab
=t(t²-3ab)+3ab=t³-3abt+3ab
所以有,t³-1-3abt+3ab=0
即,(t-1)(t²+t+1-3ab)=0
所以,t=1,或者
t²+t+1-3ab=0
又因为(a-b)²>=0
所以,(a+b)²>=4ab
上式可得
t²+t+1=3ab<=3(a+b)²/4=3t²/4
所以有,
t²/4+t+1<=0
即(t+2)²/4<=0
故只有,t+2=0;t=-2
所以,a+b有两个值,1和-2
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