Question

排列组合问题 急

（1）从5双不同的袜子中任取4只，则至少有2只袜子配成一双的可能取法种数是多少？
本体答案130种。我的做法是在5双中先选一双即C51，然后从剩下的8只中选2只即 C82,答案为140，我哪儿做错了？
（2）设有编号为1，2，3，4，5的五个小球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，将五个小球放入五个盒子中（每个盒子中放一个小球），则至少有两个小球和盒子编号相同的放法有多少种？
答案31.我的做法是5个球全排总共有A55中可能，再减去不和题的，1.只有一个球盒相同5*3*3, 2.全不相同4*4*3，最后算的27种，这又是哪儿算错了

Answer 1

【1】该题是两种情况：①4只袜子恰好是两双，这相当于从5双袜子中取两双，取法为C(5,2)=10.②4只袜子仅有一双，另两只不成双，该取法分步进行：先从5双袜子中取出一双，有C(5,1)=5种取法。再从余下的4双中取2双，每双中再各取1只，取法有C(4,2)C(2,1)C(2,1)=6×2×2=24种，∴按分步计数原理可知，此时取法有5×24=120种。∴总的取法为10+120=130种。【2】该题用“全错位排列”计算较好。5个球均不在各自位置的排列数是44种，4个球均不在各自位置的排列数为9.若仅有一个在自己位置的时候其排列数为5×9=45种。∴至少有两个球和盒子编号相同的放法=5！-44-45=31种。

Answer 2

由于你先选的是“一双”而不是“两只”，如果把C51*C82看成5个C82事件的和，则会发现你把两双配对的相同情况算了两遍，这样考虑事件会比较复杂，若从正面向该事件应该这样：
事件A1：2只袜子配成一双
事件A2：4只袜子配成两双
事件A：至少有2只袜子配成一双
显然有：A= A1 + A2
A2：直接从五双袜子中取出两双：C52 = 10
A1：像你所说的那样，“5双中先选一双即C51，然后从剩下的8只中选2只即 C82”，但是这种做法将成双的也算在内了，应去掉：C51*(C82 - 4)=120
所以有A = 120 + 10 = 130
第二题，这道题不适合用对立事件的方法求解，因为这次放入的小球与前一次放入的小球的位置相关，所以应该正面求解：
事件A1：恰有两个小球对号入座
事件A2：恰有三个小球对号入座
事件A3：恰有五个小球对号入座
事件A = A1 + A2 + A3
A1：假设1,2入座，345非对号入座，枚举可得，只有453与534合格，故共有C52*2 = 20种
A2：假设1,2,3入座，45非对号入座，只有54合格，故共有C53 = 10种
A3：1,2,3,4,5均对号入座，仅有一种
A = 20 + 10 + 1 = 31
如果按照你那样求解，假设1对号入座，2,3,4,5非对号入座，就2与3而言，2入3号位与2不入3号位对于3号球而言面临的情况并不是等可能的，所以不能单纯的用穷举的组合方法求解。

Answer 3

怎么解上面已经说了，我来说说你错在哪里吧
1：C51*C82有排列的成分在里面
比如ABCDE五双袜子，
先取一双A1.A2，再在剩下的任意取2只B1.B2 （等于你默认了A在前，B在后）
先取一双B1.B2，再在剩下的任意取2只A1.A2 （等于你默认了B在前，A在后）
而实际上只有一种情况，即A1.A2.B1.B2这4只
所以你的做法有重复

2：思路是对的，但是全错排排列你还没明白
只有一个球盒相同的应该是C51*D4=5*9=45
全不同的应该是D5=44

Answer 4

你的答案把两双配对的相同情况算了两遍。
正确做法：拿总体情况减去无配对情况就得到了至少配一双的数量：
C10 4 - C5 4 * 2^4 = 210 - 80 = 130。