Question

一高一数学题，已知曲线C：(1+a)x^2+(1+a)y^2-4x+8ay=0.

已知曲线C：(1+a)x^2+(1+a)y^2-4x+8ay=0. (Ⅰ)当a取何值时，方程表示园； （Ⅱ）求证：无论a为何值，曲线C必过定点；（Ⅱ）当曲线C表示圆时，求园面积最小时a的值.
大家帮帮忙啊，尤其第一问，怎么算怎么不对劲。过程尽量详细点，对了有加分。

Answer 1

解：(Ⅰ)当a=－1时，方程变为－4x－8y＝0,为一条直线
当a≠－1时，方程两边同时除以（1＋a）得
x²＋y²－4x／（1＋a）＋8ay／（1＋a）＝0,配方得
[x－2／（1＋a）]²－[2／（1＋a）]²＋[y＋4a／（1＋a）]²－[4a／（1＋a）]²＝0
整理得[x－2／（1＋a）]²＋[y＋4a／（1＋a）]²＝[2／（1＋a）]²＋[4a／（1＋a）]²
∵ 当a≠－1时，[2／（1＋a）]²＋[4a／（1＋a）]²＞0恒成立
∴当a≠－1时，方程表示圆，其中圆心为（2／（1＋a），－4a／（1＋a））

(Ⅱ)方程可变形为（x²＋y²－4x）＋a（x²＋y²＋8y）=0,把它看成一个关于a的方程，有无数个解
∴x²＋y²－4x=0，x²＋y²＋8y=0，联立解得x＝0，y＝0或者x＝16／5，y＝－8／5
∴曲线C必过定点（0，0），（16／5，－8／5）
（Ⅲ）圆面积最小，即半径最小
∵曲线C必过定点（0，0），（16／5，－8／5）
∴以两定点连线为直径时圆的半径最小，得圆心坐标为（8／5，－4/5）
令2／（1＋a）＝8／5，－4a／（1＋a）＝－4/5
解得a＝1／4

Answer 2

1)若1+a=0 即a=-1 C为 -4x-8y=0 即x+2y=0 表示直线
若1+a不=0 (将式子变形)
x^2+y^2-4x/(1+a)+8ay/1+a=0 (用配方化成标准式)
(x-2/1+a)^2+(y+4a/1+a)^2=(4+16a^2)/(1+a)^2
所以是以（2/1+a，4a/1+a）为圆心，根号(4+16a^2)/(1+a)^2 为半径的圆。

2)(将式子变形,把带a的放一边) (x^2-4x+y^2)+a(x^2+y^2+8y)=0
令x^2-4x+y^2=0 (其实是为了消除a的影响，无论a取何值，等式都成立)
x^2+y^2+8y=0 （这种方法你一定要掌握，以后高三也会复习到）
得x=0 y=0 or x=16/5 y=-8/5
即过定点A(0,0) B(16/5 ,-8/5)

3）因为圆过定点A,B 设圆心为O 所以直径（2r）=OA+OB
若圆面积最小，则直径最小，即(OA+OB)min 所以AB为直径时，圆面积最小
AB=2*根号(4+16a^2)/(1+a)^2 (直径=2*第一问算出了的半径)
AB^2=(16/5)^2+(-8/5)^2=4*(4+16a^2)/(1+a)^2
(解方程) a=1/4

应该是这样，不懂可以再问我。(*^__^*) 嘻嘻……

Answer 3

如图

Answer 4

x^2+y^2=r^2------------->“4x”怎么化都是“4X”----->应是a*x+b*y------>(x+a)^2+(y+b)^2=r^2