Question

已知函数f(x)=2mx²-2（4-m)x＋1，g(x)=mx,对任一实数x,f(x)与g(x)至少有一个为正数，

求m取值范围
如何用集中变元法解呢？

Answer 1

解释下什么是集中变元法解？
解:
f(x)=2*m*x^2-2*(4-m)*x+1>0或g(x)=mx>0
其中对于g(x)=mx,x=0,g(0)=0;
1。当m>0时,g(x)=mx中x>0有g(x)>0，x≤0时有g(x)≤0，此时只要保证x≤0时，f(x)>0
f(x)=2*m*x^2-2*(4-m)*x+1>0(x≤0)中a=2m>0,b=-2(4-m),c=1
对-b/(2a)=(4-m)/2m进行讨论
当0<m≤4时，二次函数对称轴在y轴右边，x≤0时f(x)是增函数，
所以只要满足f(0)=1>0，故可行。
当m>4时，二次函数的对称轴在y轴右边，
只要满足最小值f(-b/(2a))=-(4-m)^2/(2m)+1>0即可，解(m-4)^2-2m<0得2<m<8而m>4则4<m<8
故当m>0时，有0<m<8
2。当m=0时，g(x)=0,f(x)=-8x+1不满足题意。
3。当m<0时，g(x)=mx在x<0时有g(x)>0
x≥0时只要满足f(x)>0,
而m<0时2m<0，则f(x)在右半边一定是减函数，故一定会有某个x0>0使f(x0)<0，
所以不符题意，舍去

综上所述，0<m<8