Question

已知a属于R，函数f（x）=a/x+lnx-1，g（x）=（lnx-1）e^x+x

（1）求函数f（x）在区间（0，e】上的最小值；
（2）是否存在实数x0属于（0，e】，使得曲线y=g（x）在点x=x0处的切线与y轴垂直？若存在，求x0的值；

Answer 1

（1）x∈(0,+∞）
f(x)'=-ax^(-2) + 1/x
当f(x)'=0 x=a
x→0+
f(x)→
f(a)=lna
f(e)=a/e
当a∈(-∞,0]，无最小值
当a∈(0,e]，最小值：f(a)=lna
当a∈(e,+∞)，最小值：f(e)=a/e
(2) 即g(x)'=0
g(x)'=(ln(x)-1)e^x + (e^x)/x +1
g(x)'‘=(ln(x)-1) e^x - (e^x)/(x^2) + 2 (e^x)/x
g(x)''=0 x=1
x→0+ g(x)'→+∞
g(1)'=1
x→+∞ g(x)'→+∞
∴f(x)'恒大于0，也就不为零
所以不存在