Question

函数，导数问题。

函数g(x)=1/3x^3+1/2ax^2-bx,在其图像上一点P（x，y）处的切线的斜率记为f(x).
(1):若方程f(x)=0有两个实根分别为-2和4.求f(x)的表达式。
(2):若g(x)在区间【-1,3】上是单调递减函数，求a^2+b^2的最小值

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Answer 1

切线的斜率记为f(x)=g'(x)=(1/3x^3+1/2ax^2-bx)'=x^2+ax-b
(1)f(x)=0有两个实根分别为-2和4斜率
所以,4-2a-b=0,16+4a-b=0
a=-2,b=8
f(x)=x^2-2x+8
(2)g(x)在区间【-1,3】上是单调递减函数
所以,f(-1)=1-a-b<=0,
f(3)=3a-b-9<=0(你自己画出区域图)
可得,(0,0)点到1-a-b=0的距离=1/根号2
所以,a^2+b^2的最小值=(1/根号2)=0.5