Question

已知函数f(x),g(x)的图像关于原点对称，且f(x)=x平方+2x （1）求g(x)的解析式 （2）若h(x)=g(x)-kf(x)+1在

已知函数f(x),g(x)的图像关于原点对称，且f(x)=x平方+2x
（1）求g(x)的解析式
（2）若h(x)=g(x)-kf(x)+1在〔-1，1〕上是增区间，求实数k的取值范围

Answer 1

g(x)=-x^2+2x由图易知

h（x）=-x^2+2x-k(x^2+2x)+1=-(1+k)x^2+(2-2k)x+1
(-1,1)增，所以对称轴：x=(1-k)/(1+k)
若1+k=0,k=-1,h(x)=4x+1增函数，取
若1+k>0,k>-1,对称轴≥1,解得：-1<k≤0，所以-1<k≤0
若1+k<0,k<-1,对称轴≤-1,解得：k<-1,所以k<-1

综上，k≤0

Answer 2

(1)由f（x）=x²+2x
=x²+2x+1-1
=（x+1)²-1
函数f(x),g(x)的图像关于原点对称，
∴g（x）=-（x-1）²+1.
（2）由h（x）=g（x）-kf（x）+1
=-x²+2x-1+1-kx²-2kx+1
=-x²（1+k）+2x（1-k）+1
h（-1）=-（1+k）-2（1-k）+1=k-2（1）
h（1）=-（1+k）+2（1-k）+1=-3k+2（2）
∵（2）＞（1）得：-3k+2＞k-2，
∴k＜1.

Answer 3

f(x)=x²＋2x，则g(x)=－x²＋2x。
h(x)=－(1＋k)x²－2(k－1)x。若k=－1，此时可以发现满足；若k≠－1，则需要：①开口向上且对称轴小于等于－1，或②开口向下且对称轴大于等于1。