Question

数学难题，几何的，高手进，详细题目里边说，高分！！

如图，正方形ABD的边长为2a，E是CD的中点，F在BC边上易懂，问当F移动到什么位置时，AE平分角FAD？请给出证明，好的话追加分数！

Answer 1

移动到使CF=a/2时，AE平分∠FAD；

先假设AE平分∠FAD，即∠DAE=∠EAF,延长AE，延长BC，它们交于点G,

∵AD‖CG,∴∠ADE=∠GCE,

又∵∠AED=∠GEC,DE=CE,

∴△ADE≌△GCE,∴CG=AD=2a，∠DAE=∠CGE，

∵∠DAE=∠EAF,∴∠EAF=∠CGE,

∴△AFG是等腰三角形， ∴AF=FG

设CF的长为x,则FG=CF+CG=x+2a,

∴AF=x+2a， 又BF=BC-CF=2a-x,

在直角三角形ABF中，利用勾股定理有AB²+BF²=AF²

即（2a）²+(2a-x)²=(x+2a)²，

由方程可得x=a/2

∴F移动到使BF=3a/2,CF=a/2时，此时F当然是BC的一个四等分点，AE平分∠FAD

Answer 2

DC中点时
我们老师讲过。

Answer 3

解：当AE平分角FAD时，过点E作EG⊥AF，则RT△AEG全等于RT△AED，
∵E是CD中点，∴AG＝AD＝2a，EG＝ED＝a
连结EF，则RT△FEG全等于RT△FEC
∴∠AEF为直角
在RT△AEF中，∵EG⊥AF，∴△AGE相似于EGF
∴AG：EG＝EG：FG
∴FG＝a*a/2a=a/2
∴CF=GF=a/2
即当F移动到离C点a/2距离时AE平分角FAD

Answer 4

解析：过E作EG⊥AF，交AF于G
显然当EG=ED=a时，满足题目要求
此时EG=ED=EC=a，可证FC=GF
设FC=x
(2a-x)^2+4a^2=(2a+x)^2
4a^2+x^2-4ax+4a^2=4a^2+x^2+4ax==>8ax=4a^2==>x=a/2
∴当F在BC上距C为a/2处，满足题目要求。