Question

高二数列题

已知数列{an}中，a1=√2/2，an=[2(Sn)^2]/(2Sn +1)(n≥2，n∈N*)
(1)证明{1/Sn}为等差数列 (2)数列{an}中的最大项和最小项

Answer 1

由an＝Sn-S(n-1)代入即得：
Sn-S(n-1)＝[2(Sn)^2]/(2Sn+1)
化简：2Sn·S(n-1)＝Sn -S(n-1)
两边同除以Sn·S(n-1)即得：
1/Sn -1/S(n-1)＝-2
∴｛1/Sn｝是等差数列，公差＝-2,1/S1＝1/a1＝√2

1/Sn＝√2-2(n-1)
Sn＝1/(2+√2-2n)
an＝Sn-S(n-1)＝1/(2+√2-2n)-1/(4+√2-2n)＝2/[(2+√2-2n)(4+√2-2n)]
＝2/[(2n-3-√2)²-1]
分母为(2n-3-√2)²-1≈(2n-4.4)²-1
∴当n=2时，a2<0最小，a2＝1/(1-√2)＝-(√2+1)
当an>0时，n越大，an越小，故最大值应该是a1或a3中的一个！
a3＝（5+√2）/7>a1
故a3最大