Question

正、余弦定理问题

1.在△ABC中，sinA=2cosBsinC,则△ABC是什么三角形？
2.在△ABC中，若BC=3，AB=2，且sinC/sinB=(2/5)(√6+1)则A=?
3.在△ABC中，若acosA+bcosB=ccosC,则△ABC的形状是什么？

Answer 1

1 本来正弦定理是sinA=a/2R,sinC=c/2R

代进去就是2cosBc/2R=a/2R

两边把2R一消，就变成了2ccosB=a

因为这种方法太普遍了，所以为了快速，直接把sinA sinC看成a c也是可以的（因为2R肯定会消去）

所以cosB=a/2c

带到b^2=a^2+c^2-2ac*cosB里面就可以了

b^2=a^2+c^2-a^2=c^2

b^2=c^2

b=c
2 根据正弦定理得，sinC/sinB=AB/AC=2(√6+1)/5
2(√6+1)AC=5AB
∵AB=2
∴AC=5/（√6+1）=√6-1
又根据余弦定理
cosA=(AC²+AB²-BC²)/(2*AC*AB)=（2-2√6）/[4(√6-1)]
=-1/2
A=120°
3 令k=a/sinA=b/sinB=c/sinC
所以a=ksinA
b=ksinB
c=ksinC
代入acosA+bcosB=ccosC，并约去k
sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC
sin2A+sin2B=2sinCcosC
sin[(A+B)+sin(A-B)]+sin[(A+B)-sin(A-B)]=2sinCcosC
sin(A+B)cos(A-B)+cos(A+B)sin(A-B)+sin(A+B)cos(A-B)-cos(A+B)sin(A-B)=2sinCcosC
2sin(A+B)cos(A-B)=2sinCcosC
sin(A+B)=sin(180-C)=sinC
所以cos(A-B)=cosC
所以A-B=C
A=B+C
所以A=90
所以是直角三角形

Answer 2

1。sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2cosBsinC，即sinBcosC=cosBsinC,sin(B-C)=0,B=C
等腰三角形
2。sinC/sinB=AB:AC，AB=2，所以AC=2/（2/5）/(根号6+1)=根号6-1
A=arccos(AB^2+AC^2-BC^2)/2ABAC=arccos[(4+7-2根号6-9)/(2*2*(根号6-1)]=arccos[(2-2根号6)/(4根号6-4)]=arccos(-1/2)=120°
3由正弦定理，sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC，sinC=sin(A+B),cosC=-cos(A+B)
sinAcosA+sinBcosB=(sinAcosB+cosAsinB)(sinAsinB-cosAcosB)=sinAsinAsinBcosB-sinAcosAcosBcosB+sinAcosAsinBsinB-cosAcosAsinBcosB
cosAcosB(sinAcosB+sinBcosA=0)
cosAcosBsin(A+B)=0,只可能cosA或cosB=0，三角形ABC为直角三角形