Question

三角数列题：sinθ sinα cosθ成等差数列,sinθ sinβ cosθ为等比数列,求证2COS2α=cos2β

三角数列题：sinθ sinα cosθ成等差数列,sinθ sinβ cosθ为等比数列,求证2COS2α=cos2β

Answer 1

证明：∵sinθ sinα cosθ成等差数列∴2sina=sinθ+cosθ,
∵sinθ sinβ cosθ为等比数列,∴sin^2β=sincθosθ,
∴左边=2cos2a=2[1-2(sina)^2]=2-4(sina)^2=2-(sinθ+cosθ)^2=2-(1+2sinθcosθ)=1-2sinθcosθ
=1-2(sinβ)^2=cos2β=右边

Answer 2

证明：
依题意有：
sinθ+cosθ=2sinα （1）
sinθcosθ=sinβ^2 （2）
（1）式平方得1+2sinθcosθ=4sinα^2
把（2）式代入上式得
1+2sinβ^2=4sinα^2
利用倍角公式得
2-cos2β=2-2cos2α
2cos2α=cos2β
证明得证

Answer 3

根据题意：
sinθ + cosθ=2sinα--------1
sinθ * cosθ=(sinβ)^2-----2

式子1两边平方：
1+2sinθ * cosθ=4（sinα）^2
把式子2代入：
1+2(sinβ)^2=4（sinα）^2
1+2*（1-cos2β)/2=4*（1-cos2α)/2
2-cos2β=2-cos2α
2COS2α=cos2β
得证