Question

已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=2,若数列an满足an=f(0)+f(1/n)+f(2/n)+....+f((n-1)/n)+f(1)求证a

1.求证an为等差数列2.若｛an乘an加1分之一｝的前n项和Tn＜qan加一对一切n属于R都成立，求q的取值范围

Answer 1

解：1、由题意知
f(0)+f(1)=2
f(1/n)+f(1-1/n)=2
f(2/n)+f(1-2/n)
……
所以an=f(0)+f(1/n)+f(2/n)+....+f((n-1)/n)+f(1)……（1）
an=f(0)+f(1/n)+f(2/n)+....+f((n-1)/n)+f(1)……（2）
（1）+（2）得
2an=(f(0)+f(1))+(f(1/n)+f(1-1/n))+……+(f(1)+f(0))=(n+3)*2
所以an=n+3 由此可知an是一个以4为首项1为公差的等差数列
2、由（1）知 1/an*(an+1)=1/(n+3)（n+4）=1/(n+3)-1/(n+4)
所以Tn=1/4-1/5+1/5-1/6+……+1/(n+3)-1/(n+4)=1/4-1/(n+4)=n/(n+4)
若果qan加一是qan+1
那么 就有n/(n+4)<q(n+3)+1对一切R都成立
那么q>-4/(n+4)(n+3) 而-4/(n+4)(n+3)无最大值
所以你的题qan加一是 qa(n+1)
那么 就有n/(n+4)<q(n+4) 即q>n/(n+4)^2
而 n/(n+4)^2的最大值是1/16(当且仅当n=16/n,n=4或-4时等号成立)
所以Tn＜qan加一对一切n属于R都成立 时 q的范围是q>1/16

Answer 2

an=f(0)+f(1/n)+f(2/n)+....+f((n-1)/n)+f(1)
an=f(1)+f((n-1)/n+....+f(0)
累加可得2an=2(n+1)
an=n+1

Answer 3

an=f(0)+f(1/n)+f(2/n)+....+f((n-1)/n)+f(1)
an=f(1)+f((n-1)/n+....+f(0)
2an=2(n+1)
an=n+1