Question

初三二次函数总内容

概括完整谢谢，以及相应的例题谢谢！

Answer 1

二次函数 　　二次函数是最简单的非线性函数之一，而且有着丰富内涵。在中学数学数材中，对二次函数和二次方程，二次三项式及二次不等式以及它们的基本性质，都有深入和反复的讨论与练习。它对近代数学，乃至现代数学，影响深远，为历年来高考数学考试的一项重点考查内容，历久不衰，以它为核心内容的重点试题，也年年有所变化，不仅如此，在全国及各地的高中数学竞赛中，有关二次函数的内容也是非常重要的命题对象。因此，必须透彻熟练地掌握二次函数的基本性质。 　　学习二次函数的关键是抓住顶点（-b/2a，(4ac-b2)/4a），顶点的由来体现了配方法（y=ax2+bx+c=a(x+b/2a)2+(4ac-b2)/4a）；图象的平移归结为顶点的平移（y=ax2→y=a(x-h)2+k）；函数的对称性（对称轴x=-b/2a，f (-b/2a+x)=f (-b/2a-x)，x∈R），单调区间（-∞，-b/2a），[-b/2a,+∞]、极值（(4ac-b2)/4a），判别式（Δb2-4ac）与X轴的位置关系（相交、相切、相离）等，全都与顶点有关。 　　一、“四个二次型”概述 　　在河南教育出版社出版的《漫谈ax2+bx+c》一书中（作者翟连林等），有如下一个“框图”： （一元）二次函数
y=ax2+bx+c (a≠0) → a=0 → （一元）一次函数
y=bx+c(b≠0)
↑ ↑
↑ ↑
（一元）二次三项式
ax2+bx+c(a≠0) → a=0 → 　　一次二项式
　　bx+c(b≠0)
↓ ↓ ↓ ↓
↓ ↓ ↓ ↓
↓ 一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0) → a=0 → 一元一次方程
bx+c=0(b≠0) ↓
↓ ↓
一元二次不等式
ax2+bx+c>0或
ax2+bx+c<0(a≠0) → a=0 → 一元一次不等式
bx+c>0或
bx+c<0(b≠0)
　　观察这个框图，就会发现：在a≠0的条件下，从二次三项式出发，就可派生出一元二次函数，一元二次方程和一元二次不等式来。故将它们合称为“四个二次型”。其中二次三项式ax2+bx+c(a≠0)像一颗心脏一样，支配着整个“四个二次型”的运动脉络。而二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，犹如“四个二次型”的首脑或统帅：它的定义域即自变量X的取值范围是全体实数，即n∈R；它的解析式f(x)即是二次三项式ax2+bx+c(a≠0)；若y=0，即ax2+bx+c=0（a≠0），就是初中重点研究的一元二次方程；若y>0或y<0，即ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（a≠0），就是高中一年级重点研究的一元二次不等式，它总揽全局，是“四个二次型”的灵魂。讨论零值的一元二次函数即一元二次方程是研究“四个二次型”的关键所在，它直接影响着两大主干：一元二次方程和一元二次不等式的求解。一元二次方程的根可看作二次函数的零点；一元二次不等式的解集可看作二次函数的正、负值区间。心脏、头脑、关键、主干、一句话，“四个二次型”联系密切，把握它们的相互联系、相互转化、相互利用，便于寻求规律，灵活运用，使学习事半功倍。
二、二次函数的解析式 　　上面提到，“四个二次型”的心脏是二次三项式：二次函数是通过其解析式来定义的（要特别注意二次项系数a≠0）；二次函数的性质是通过其解析式来研究的。因此，掌握二次函数首先要会求解析式，进而才能用解析式去解决更多的问题。 　　Y=ax2+bx+c(a≠0)中有三个字母系数a、b、c，确定二次函数的解析式就是确定字母a、b、c的取值。三个未知数的确定需要3个独立的条件，其方法是待定系数法，依靠的是方程思想及解方程组。 　　二次函数有四种待定形式： 　　1．标准式（定义式）：f(x)=ax2+bx+c.(a≠0)
　　2．顶点式：　　　　　f(x)=a(x-h)2+k .(a≠0)
　　3．两根式（零点式）：f(x)=a(x-x1)(x-x2). (a≠0)
　　4．三点式：（见罗增儒《高中数学竞赛辅导》） 　　过三点A（x1,f (x1)）、B（x2,f (x2)）、C（x3,f (x3)）的二次函数可设为 　　f (x)=a1(x-x2)(x-x3)+a2(x-x1)(x-x3)+a3(x-x1)(x-x2)把ABC坐标依次代入，即令x=x1,x2,x3,得 　　　　　　　　f (x1)=a1(x1-x2)(x1-x3)，
　　　　　　　　f (x2)=a2(x2-x1)(x2-x3)，
　　　　　　　　f (x3)=a3(x3-x1)(x3-x2) 　　解之，得：a1=f (x1)/ (x1-x2)(x1-x3)，a2=f (x2)/ (x2-x1)(x2-x3)，a3=f (x3)/ (x3-x1)(x3-x2) 　　从而得二次函数的三点式为：f(x)=[f(x1)/(x1-x2)](x1-x3)(x-x2)(x-x3)+[f(x2)/ (x2-x1)(x2-x3)](x-x1)(x-x3)+[f(x3)/(x3-x1)(x3-x2)](x-x1)(x-x2)根据题目所给的不同条件，灵活地选用上述四种形式求解二次函数解析式，将会得心应手。 　　例1． 已知二次函数的图象过（－1,－6），（1，－2）和（2,3）三点，求二次函数的解析式。 　　[解法一]：用标准式 　　∵图象过三点（－1,－6）、（1，－2）、（2,3） 　　∴可设y=f (x)=ax2+bx+c，且有a-b+c=－6　①，a+b+c=－2 ②，4a+2b+c=3 ③ 　　解之得：a=1，b=2，c=－5 　　∴所求二次函数为y=x2+2x-5 　　[解法二]：用三点式 　　∵图象过三点（－1，－6），（1，－2），（2,3） 　　∴可设y=a1(x-x2)(x-x3)+a2(x-x1)(x-x3)+a3(x-x1)(x-x2)=(a1+a2+a3)x2－ [a1(x2+x3)+a2(x1+x3)+a3(x1+x2)]x+(a1x2x3+a2x1x3+a3x1x2)　　计算可得：a1=－6/(－1－1)(－1－2)=－1，
　　　　　　　a2=－2/ (1＋1)(1－2)=1，
　　　　　　　a3=3/ (2＋1)(2－1)=1 　　∴f (x)=x2＋2x－5 　　例2． 二次函数的图象通过点（2，－5），且它的顶点坐轴为（1，－8），求它的解析式 　　解：∵它的顶点坐标已知 　　∴可设f (x)=a(x－1)2－8 　　又函数图象通过点（2，－5）， 　　∴a(2－1)2－8=－5 　　解之，得a=3 　　故所求的二次函数为：
　　　　　　y=3(x－1)2－8 　　即：y=f (x)=3x2－6x－5 　　[评注]，以顶点坐标设顶点式a(x-h)2+k，只剩下二次项系数a为待定常数，以另一条件代入得到关于a的一元一次方程求a，这比设标准式要来得简便得多。 例3． 已知二次函数的图象过（－2,0）和（3,0）两点，并且它的顶点的纵坐标为125/4，求它的解析式。 　　解：∵（－2,0）和（3,0）是X轴上的两点， 　　∴x1＝－2，x2＝3 　　可设y=f(x)=a(x+2)(x-3)
　　　　　　　=a(x2-x-6)=a[(x-1/2)2-25/4]
　　　　　　　=a(x-1/2)2-25/4a 它的顶点的纵坐标为－25/4a 　　∴－25/4a=125/4，a=－5 故所求的二次函数为：　　　　　　f (x)=－5(x+2)(x-3)=－5x2+5x+30 　　[想一想]：本例能否用顶点式来求？ 　　例4． 已知二次函数经过3点A（1/2，3/4）、B（－1,3）、C（2,3），求解析式。 　　[分析]本例当然可用标准式、三点式求解析式，但解方程组与求a1、a2、a3计算较繁。仔细观察三点坐标特点或画个草图帮助分析，注意到三点的特殊位置，则可引出如下巧解。 　　[解法一]：顶点式：由二次函数的对称性可知，点B、C所连线段的中垂线x=(-1+2)/2=1/2即为图象的对称轴，从而点A（1/2，3/4）必是二次函数的顶点，故可设顶点式:　　　　　　f(x)=a(x-(1/2))2+(3/4) 把B或C的坐标代入得：f(-1)=a(-3/2)2+(3/4)=(9/4)a+(3/4)=3 解得：a=1 　　　∴f(x)=(x-(1/2))2+3/4=x2-x+1 　　[解法二]由B、C的纵坐标相等可知B、C两点是函数y=f (x)与直线y=3的交点，亦即B、C两点的横坐标是方程f (x)=3即f (x)-3=0的两个根故可设零点式为： 　　　　　　　　　　f (x)-3=a(x+1)(x-2)把A点坐标代入，有　　　　　　　　　　f (1/2)-3=a(1/2+1)(1/2-2)，即－9/4=－9/4a，a=1 从而f (x)=(x+1)(x-2)+3
　　　　 =x2-x+1