Question

2013•武汉）已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G． （1）

如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF．求证：
DE
CF
＝
AD
CD
；
（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形．试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得
DE
CF
＝
AD
CD
成立？并证明你的结论；
（3）如图③，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD=90°，DE⊥CF．请直接写出
DE
CF
的值．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝90°， 
     ∵DE⊥CF，∴∠ADE＝∠DCF，∴△ADE∽△DCF，∴ ．
（2）当∠B+∠EGC＝180°时， 成立，证明如下： 
     在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，则∠CMF＝∠CFM．
     ∵AB∥CD，∴∠A＝∠CDM，
     ∵∠B+∠EGC＝180°，
∴∠AED＝∠FCB，∴∠CMF＝∠AED．
     ∴△ADE∽△DCM，
∴ ，即 ．