Question

怎么理解数列极限的定义

定义是这样写的：设有数列{xn}与常数a，若对任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N，使得对于n>N时的一切xn，不等式｜xn-a｜<ε都成立，则称常数a是数列{xn}的极限。
问题是：1.如果对一切xn都有｜xn-a｜<ε,那不是说明xn总小于ε？为什么ε不是极限而是a。
2.为什么说满足以上假设条件后，不等式｜xn-a｜<ε都成立，就说常数a是数列{xn}的极限，常数a与任意给定的正数ε有什么区别

Answer 1

如果对一切xn都有｜xn-a｜<ε,
是说明｜xn-a｜<ε不是xn<ε,
也只是说对任意小正数ε，存在N，当n>N时｜xn-a｜<ε成立，这个ε是事先任意给定的，而a是特定的数，不是随便给定的，是算出来的，如1/n的极限当n趋于无穷时是0，这个a=0是算出来的。
这就是我对你上述两点的看法。

追问

为什么说定义中的N与任意给定的正数ε有关，另外，在证明极限的时候，为什么只要找到正整数N就可以证明了？

追答

是的，定义中的N与任意给定的正数ε有关，只要你事先给定正数ε，就可以找到N，当n>N时，
|xn-a｜<ε都成立
这个N就与ε有关。
任意给ε，就能找到N,这由ε的任意性，就能确定极限存在并且是a了。这就是极限理论。

追问

如果要证明一个数列n+(-1)^(n-1)/n-1的极限是1，为什么只要取整N就可以做结论了？

追答

因为|n+(-1)^(n-1)/(n-1)-1|=|1-(-1)^(n-1)|/(n-1)2/ε+1
取N=[2/ε+1]即可

追问

是求n+(-1)^(n-1)/n的极限，不是n+(-1)^(n-1)/(n-1)的，是问为什么只要求出N就能得出结论了