Question

f(x)=sinx,求f'(f(x))=?

Answer 1

f'(x)=cosx
f'(f(x))=cos(sinx)

追问

那f(x)=sin2x,求f'(f(x))=?

追答

f'(x)=2cos2x
f'(f(x))=2cos(2sin2x)

追问

答案是不是这样的f'(f(x))=4cos(2sin2x)cos2x,

追答

那是你没说清题目，应该写成（f（f（x）））的导数才是你说的答案

Answer 2

参考例题：
设f（x）=sinx-∫(0~t)(x-t)f(t)dt,f为连续函数，求f(x).
f(x) = sinx - ∫(0~x) (x - t) f(t) dt
= sinx - x∫(0~x) f(t) dt + ∫(0~x) tf(t) dt，之后两边对x求导
f'(x) = cosx - [x' · ∫(0~x) f(t) dt + x · f(x)] + xf(x)
f'(x) = cosx - ∫(0~x) f(t) dt，两边再对x求导
f''(x) = - sinx - f(x)
==> y'' + y = - sinx，解微分方程
特征方程：r² + 1 = 0 => r = ±i
y = Acosx + Bsinx
令特解：p = x · (Acosx + Bsinx) = Axcosx + Bxsinx
p'' = - Axcosx - 2Asinx + 2Bcosx - Bxsinx，代入微分方程中
p'' + p = - sinx
(- Axcosx - 2Asinx + 2Bcosx - Bxsinx) + (Axcosx + Bxsinx) = - sinx
- 2Asinx + 2Bcosx = - sinx
解得A = 1/2，B = 0
p = (1/2)xcosx
通解为y = (1/2)xcosx + Acosx + Bsinx
所以f(x) = (1/2)xcosx + Acosx + Bsinx，其中A和B都是任意常数