Question

已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为A（-1，0），B（1，0），一个顶点为H（2，0）．（1）求椭圆E

已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为A（-1，0），B（1，0），一个顶点为H（2，0）．（1）求椭圆E的标准方程；（2）对于x轴上的点P（t，0），椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围．

Answer 1

（1）由题意得，c=1，a=2，则b= 3 故所求的椭圆标准方程为 x 2 4 + y 2 3 =1 ； （2）设M（x 0 ，y 0 ）（x 0 ≠±2），则 x 0 2 4 + y 0 2 3 =1       ① 又由P（t，0），H（2，0）．则 MP =(t- x 0 ，- y 0 ) ， MH =(2- x 0 ，- y 0 ) 由MP⊥MH可得 MP ? MH =0 ，即（t-x 0 ，-y 0 ）?（2-x 0 ，-y 0 ）= (t- x 0 )?(2- x 0 )+ y 0 2 =0 由①②消去y 0 ，整理得 t(2- x 0 )=- 1 4 x 0 2 +2 x 0 -3     ② ∵x 0 ≠2，∴ t= 1 4 x 0 - 3 2 ∵-2＜x 0 ＜2，∴-2＜t＜-1 故实数t的取值范围为（-2，-1）．