Question

（2014?绵阳）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且满足BC=FC，过点C作⊙O的切线交A

（2014?绵阳）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且满足BC=FC，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于D点，交AF的延长线于E点．（1）求证：AE⊥DE；（2）若tan∠CBA=3，AE=3，求AF的长．





Answer 1

解答：（1）证明：连接OC，
∵OC=OA，
∴∠BAC=∠OCA，
∵

BC

=

FC

，
∴∠BAC=∠EAC，
∴∠EAC=∠OCA，
∴OC∥AE，
∵DE切⊙O于点C，
∴OC⊥DE，
∴AE⊥DE；

（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴△ABC是直角三角形，
∵tan∠CBA=

3

，
∴∠CBA=60°，
∴∠BAC=∠EAC=30°，
∵△AEC为直角三角形，AE=3，
∴AC=2

3

，
连接OF，
∵OF=OA，∠OAF=∠BAC+∠EAC=60°，
∴△OAF为等边三角形，
∴AF=OA=

1

2

AB，
在Rt△ACB中，AC=2

3

，tan∠CBA=

3

，
∴BC=2，
∴AB=4，
∴AF=2．