Question

已知定义在R上的函数f（x）满足f（x＋1）＝－f（x）。当x ［0,1］时，f（x）＝ －x，若g（x）＝f（x）

已知定义在R上的函数f（x）满足f（x＋1）＝－f（x）。当x ［0,1］时，f（x）＝ －x，若g（x）＝f（x）－m（x＋1）在区间（－1,2］有3个零点，则实数m的取值范围是 A．（－ ， ） B．（－ ， ］ C． D．

Answer 1

B

试题分析：根据题意，可求出f（x）区间（-1，2]上的分段函数的表达式，然后在同一坐标系内作出y=f（x）和y=m（x+1）的图象，观察直线y=m（x+1）的斜率m变化，可得直线y=m（x+1）位于图中AB、AC之间（包括AC）活动时，两个图象有三个公共点，由此求出直线AB、AC的斜率并与实数m加以比较，即可得到本题的答案．解：设得x+1∈[0，1]，此时f（x+1）= -（x+1）=-x- ， ∵函数f（x）满足f（x+1）=-f（x） ∴当-1≤x≤0时，f（x）=x+ ．又∵f（x+2）=-f（x+1）═-[f（-x）]=f（x）∴f（x）是以2为周期的函数，可得当1≤x≤2时，f（x）=f（x-2）=x- 综上所述，得f（x）区间（-1，2]上的表达式为f（x）= ， 为了研究g（x）=f（x）-m（x+1）在区间（-1，2]上的零点，将其形为，f（x）=m（x+1），在同一坐标系内作出y=f（x）和y=m（x+1）的图象，如右图所示，y=f（x）图象是三条线段构成的折线，y=m（x+1）的图象是直线，因为直线y=m（x+1）经过定点A（-1，0），所以由图象可得当直线y=m（x+1），位于图中AB、AC之间（包括AC）活动时，两个图象有三个公共点，相应地，g（x）=f（x）-m（x+1）在区间（-1，2]也有3个零点，∵B（1，-0.5），C（2，0.5），，∴k AB =  而直线y=m（x+1）的斜率为m，它在AB、AC之间（包括AC）活动时，m（ ， ]．因此，使得g（x）=f（x）-m（x+1）在区间（-1，2]有3个零点的m取值范围为m（ ， ]，故选B 点评：本题给出分段函数图象与直线有三个公共点，求直线斜率m的取值范围，着重考查了基本初等函数的图象与性质、直线的斜率及其变化等知识，属于中档题