Question

设f（x）是定义在R上的函数，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式exf（x）＞ex+1的解集

设f（x）是定义在R上的函数，f（0）=2，对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，则不等式exf（x）＞ex+1的解集为（　　）A．（0，+∞）B．（-∞，0）C．（-∞，-1）∪（1，+∞）D．（-∞，-1）∪（0，1）

Answer 1

令g（x）=e^xf（x）-e^x，
则g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-e^x，
∵对任意x∈R，f（x）+f′（x）＞1，
∴g′（x）=e^x[f（x）+f′（x）-1]＞0，
∴函数y=g（x）在R上单调递增．
∵f（0）=2，
∴g（0）=1．
∴当x＜0时，g（x）＜1；
当x＞0时，g（x）＞1．
∵e^xf（x）＞e^x+1，
∴e^xf（x）-e^x＞1，
即g（x）＞1，
∴x＞0．
故选A．