Question

如图：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是斜边BC的中点．（1）如图1，若E、F分别是AB、AC上的点，且AE=CF

如图：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是斜边BC的中点．（1）如图1，若E、F分别是AB、AC上的点，且AE=CF．求证：①△AED≌△CFD；②△DEF为等腰直角三角形．（2）如图2，点F、E分别D在CA、AB的延长线上，且AE=CF，猜想△DEF是否为等腰直角三角形？如果是请给出证明．

Answer 1

（1）证明：①∵∠BAC=90°， AB=AC=6，D为BC中点 ∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°， ∴AD=BD=DC， ∵在△AED和△CFD中， AE=CF ∠EAD=∠DAC AD=AD                      ∴△AED≌△CFD（SAS）； ②∵△AED≌△CFD， ∴DE=DF，∠ADE=∠CDF， 又∵∠CDF+∠ADF=90°， ∴△DEF为等腰直角三角形； （2）△DEF为等腰直角三角形， 理由：∵∠BAC=90° AB=AC=6，D为BC中点 ∴∠BAD=∠DAC=∠B=∠C=45°， ∴AD=BD=DC， ∵在△AED和△CFD中， AE=CF ∠BAD=∠C AD=CD ， ∴△AED≌△CFD（SAS）；    ∴DE=DF∠ADE=∠CDF， 又∵∠CDF+∠ADF=90°， ∴△DEF为等腰直角三角形．