Question

现根据对某一双星系统的光学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M，两者相距L，它们正围绕两者连线

现根据对某一双星系统的光学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动．万有引力常量为G．求：（1）试计算该双星系统的运动周期T；（2）若实验上观测到运动周期为T′，为了解释两者的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质．作为一种简化的模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着密度为ρ的暗物质，而不考虑其它暗物质的影响，并假定暗物质与星体间的相互作用同样遵守万有引力定律．试根据这一模型计算该双星系统的运动周期T′．

Answer 1

（1）双星均绕它们连线的中点做圆周运动，设运动的速率为v，得：
M

v2

L 2

＝G

M2

L2

    ①
T＝

2π L 2

v

    ②
由①、②式得：T ＝πL

2L GM

（2）暗物质的质量为ρ?

4

3

πR3
根据合力提供向心力G

M2

L2

+

GMρ 4 3 π( L 2 )3

( L 2 )2

＝M

L

2

(

2π

T′

)2 
解得T′＝πL

6L G(3M+2πρL3)

 
答：（1）计算该双星系统的运动周期T为πL

2L GM

；
（2）该双星系统的运动周期T′为πL

6L G(3M+2πρL3)

．