Question

已知，抛物线y=ax2+bx-3a经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2

已知，抛物线y=ax2+bx-3a经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点D与C关于抛物线的对称轴对称，求点D关于直线BC对称的点的坐标；（3）在（2）的条件下，连接DB，问在抛物线上是否存在一点M，使∠DBM=45°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由题意得：将A（-1，0），C（0，-3）代入y=ax²+bx-3a得：

a?b?3a＝0 ?3a＝?3

，
解得

a＝1 b＝?2

∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3；

（2）∵抛物线的对称轴为直线x=1，与x轴的另一个交点是B（3，0），
则点C关于抛物线对称轴的对称点D（2，-3），
∴CD=2，且CD∥AB
∵OC=OB=3，且∠COB=90°，
∴∠OCB=∠BCD=45°
过点D作DD′⊥BC交y轴于点D′，则CD′=CD=2；
∴点D′（0，-1）
即点D关于直线BC对称点的坐标为D′（0，-1）；

（3）假设存在这样的点M，使∠DBM=45°，设BM交y轴于点P；
∵∠OBC=∠DBM=45°，
∴∠OBP=∠CBD；
过点D作DE⊥BC，
∵∠BCD=45°，CD=2，∴CE=DE=

2

，
∴BE=BC-CE=2

2

；
又∵∠BED=∠BOP=90°，
∴△BOP∽△BED，
∴

BO

BE

＝

OP

DE

，
∴OP=1.5，即P（0，-1.5）；
∴直线BP的解析式为：y=

1

2

x-

3

2

；
∴抛物线与直线BP的交点M

y＝x2?2x?3 y＝ 1 2 x? 3 2

，
解得

x1＝? 1 2 y1＝? 7 4

或

x2＝3 y2＝0

（不合题意，舍去）
∴存在这样的点M，即M（-

1

2

，-

7

4

）．