Question

设函数f（x）xe^（kx）（k≠0） 若函数f（x）在区间（-1，1）的单调区间，求k的取值范围

用导数
一定要详解，好的话追加多50分,要讨论k大于0或k小于0的啊

Answer 1

要分类讨论,但应该是对x进行讨论,并不能简单的只对极点的位置进行求解

若f(x)=x(e^kx)(k≠0)在(-1,1)上单调
则f'(x)=(kx+1)(e^kx)在(-1,1)上 恒≤0 或 恒≥0
即 kx+1≤0 对 任意x∈(-1,1)恒成立 ----(1)
或 kx+1≥0 对 任意x∈(-1,1)恒成立 ----(2)
由于(1)在x=0是不成立,所以只能(2)成立
i)当x=0时,(2)化为 1≥0 ,恒成立,即k∈R
ii)当0<x<1时,(2)化为 k≥ -1/x 对任意x∈(0,1)恒成立
即 k≥max(-1/x),x∈(0,1), 即 k≥-1
iii)当-1<x<0时,(2)化为 k≤ -1/x 对任意x∈(-1,0)恒成立
即 k≤min(-1/x),x∈(-1,0), 即 k≤1

综合i)ii)iii),再考虑到k≠0, 得 k∈[-1,0)∪(0,1]

Answer 2

f（x）=xe^（kx）（k≠0）在区间（-1，1）内单调，
<==>f'(x)=e^(kx)+kxe^(kx)=(1+kx)e^(kx)(x∈（-1，1））保号，
e^(kx)>0,
<==>g(x)=1+kx(x∈（-1，1））保号,
<==>g(-1)g(1)=(1-k)(1+k)>=0,
题设k≠0，
<==>-1<=k<0,或0<k<=1，为所求。

Answer 3

因为在区间内单调
所以导函数在(-1,1)内没有零点
f'(x)=(kx+1)e^kx=0
x=-1/k
-1/k∉(-1,1)
k∈(-∞，-1）∪（1，+∞）